logとの合成関数 log f(x) の微分であたふたしたので証明についてメモ

logとの合成関数 log f(x) の微分であたふたしたので証明についてメモ

はじめに

勉強中に「あれ、これってなんでこうなるんだっけ?」ってなって、あたふたしたので備忘録としてメモ。

下のlogとの合成関数の偏微分についてです。

 \begin{equation}\frac{\partial}{\partial u_{k}}  (\log \sum \limits_{k} \exp{(u_{k}})) = \frac {\exp{(u_{k})}}{ \sum\limits_{k} \exp{(u_{k})}}    \\
\end{equation}\\
\scriptsize * ここでの\logは 自然対数なので底はeね。

要は、

\small 合成関数「\log f(x)」の形のものを微分(ここでは偏微分)している\\

っていう形になってて、これの公式は

\{ \log f(x)\}' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)

ということだからなのだよ、と。

ふむふむなるほど。。。でも、「なんでじゃあぁぁぁ!? o(`ω´ )o 」てなりまして。。。

というわけで、合成関数の微分公式についての証明をしらべてみると理解できました、という話です。

本当はもうすこし厳密に考えないといけないようなのですが、ここでは高校数学のレベルのものを記載します。

はい、それでは見てみましょう。

合成関数とその導関数(微分)

\small y= f(u), u = g(x)  のとき、u=g(x) を y=f(u)に代入すると、\\
\small y=f(g(x)) \\

\smallとなる。\\
\small これを y=f(u), u = g(x)の合成関数という。
\small 合成関数の導関数は、
\frac {d{y}}{d{x}} = \frac {d{y}}{d{u}} \cdot \frac {d{u}}{d{x}}
\small あるいは
\lbrace f(g(x)) \rbrace ' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\small となり、
\\
\small ここで g(x) = u を代入すると、\\
\lbrace f(u) \rbrace' = f'(u) \cdot g'(x)
\small となる。

合成関数の微分公式の証明

\small 合成関数 y = f(g(x)) を導関数の定義にもとづいて微分します。
 \begin{split}
\frac{dy}{dx} &= \lim_{h \to 0 } \frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h}\\
&= \lim_{h \to 0 } \{ \frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \}\\
\end{split}
\small ここで、


\small g(x+h)-g(x) = j , u=g(x)とおくと

\small g(x+h) = g(x) + j = u + j となる。
\small よって、
= \lim_{h \to 0 } \lbrace\frac{f(u + j) - f(u)}{j} \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \rbrace \\
\small となる。このときh \to 0ならば、j \to 0となる。
\small よって、
= \lim_{j \to 0 } \lbrace\frac{f(u + j) - f(u)}{j} \rbrace \cdot \lim_{h \to 0}\lbrace\frac{g(x+h) - g(x)}{h} \rbrace \\
= f'(u) \cdot g'(x)\\
= \frac {d{y}}{d{u}} \cdot \frac {d{u}}{d{x}}
\small である。ここで、
\frac {d{y}}{d{x}} =\{ f(g(x))\}'\\
 \frac {d{y}}{d{u}} = \{ f(u)\}' = f'(u) = f'(g(x))\\
 \frac {d{u}}{d{x}} = \{ g(x)\}' = g'(x)\\
\small であるので、
\{ f(g(x))\}' =  f'(g(x)) \cdot g'(x)\\
\smallとなる。
\\また、
(\log{x})' = \frac{1}{x} 
\small であるので(普通の対数の微分についてはもういいってことで。。。)、
\small 対数とf(x)の合成関数 \log f(x) を微分すると、
\{ \log f(x)\}' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\\
\small となる。

なるほどなるほど。

では、もとの対数の合成関数の微分に戻ってみます。

(1)の合成関数の微分をみてみる

というわけで、冒頭の

 \frac{\partial}{\partial u_{k}}  (\log \sum \limits_{k} \exp{(u_{k}})) = \frac {\exp{(u_{k})}}{ \sum\limits_{k} \exp{(u_{k})}}    (1)\\

は、

f(u_k) = \sum_k \exp(u_k)
\small と考えると、
\{ \log f(u_k)\}' = \frac{1}{f(u_k)} \cdot f'(u_k)\\
\small ということ(u_kで偏微分)であって、ここで、
f'(u_k) = \{\sum_k \exp(u_k)\}'
\small の部分は、u_kで偏微分しているため\\\exp(u_k)がかかっている項だけが残るので、
 \begin{split}
\{ \log f(u_k)\}' &= \frac{1}{f(u_k)} \cdot f'(u_k)\\
&= \frac {1}{ \sum\limits_{k} \exp{(u_{k})}} \cdot \exp{(u_{k})} \\
&= \frac {\exp{(u_{k})}}{ \sum\limits_{k} \exp{(u_{k})}} \\
\end{split}

となるのだと。

ようやく理解できました。。。

おしまい。


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